数学基础回顾

1 高等数学

1.1 导数定义

导数和微分的概念

或者：

1.2 左右导数导数的几何意义和物理意义

函数f(x)在x_0处的左、右导数分别定义为：

左导数：

右导数：

1.3 函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数f(x)在x_0处可微\Leftrightarrow f(x)在x_0处可导

Th2: 若函数在点x_0处可导，则y=f(x)在点x_0处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: {f}'({{x}{0}})存在\Leftrightarrow {{{f}'}{-}}({{x}{0}})={{{f}'}{+}}({{x}_{0}})

1.4 平面曲线的切线和法线

切线方程 :

法线方程：

1.5 四则运算法则

设函数u=u(x)，v=v(x)]在点x可导，则：

• (u\pm v{)}'={u}'\pm {v}' and d(u\pm v)=du\pm dv

• (uv{)}'=u{v}'+v{u}' and d(uv)=udv+vdu

• (\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0) and d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}

1.6 基本导数与微分表

1.7 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

• 反函数的运算法则: 设y=f(x)在点x的某邻域内单调连续，在点x处可导且{f}'(x)\ne 0，则其反函数在点x所对应的y处可导，并且有\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}

• 复合函数的运算法则:若\mu =\varphi (x)在点x可导,而y=f(\mu )在对应点\mu (\mu =\varphi (x))可导,则复合函数y=f(\varphi (x))在点x可导,且{y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)

• 隐函数导数\frac{dy}{dx}的求法一般有三种方法：
  • 方程两边对x求导，要记住y是x的函数，则y的函数是x的复合函数.例如\frac{1}{y}，{{y}^{2}}，ln y，{{{e}}^{y}}等均是x的复合函数。对x求导应按复合函数连锁法则做
  • 公式法：由F(x,y)=0知 \frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}{y}}(x,y)},其中，{{{F}'}{x}}(x,y)， {{{F}'}{y}}(x,y)分别表示F(x,y)对x和y的偏导数
  • 利用微分形式不变性

1.8 常用高阶导数公式

• ({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}

• (\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})

• (\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})

• ({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}

• (\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}

• 若u(x)\,,v(x)均n阶可导，则{{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}，其中{{u}^{({0})}}=u，{{v}^{({0})}}=v（莱布尼兹公式）

1.9 微分中值定理，泰勒公式

Th1（费马定理）：

若函数f(x)满足条件：

• 函数f(x)在{{x}{0}}的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 f(x)\le f({{x}{0}})或f(x)\ge f({{x}_{0}}),

• f(x)在{{x}{0}}处可导,则有 {f}'({{x}{0}})=0

Th2（罗尔定理）：

设函数f(x)满足条件：

• 在闭区间[a,b]上连续；

• 在(a,b)内可导；

• f(a)=f(b)

则在(a,b)内一存在个\xi ，使 {f}'(\xi )=0

Th3（拉格朗日中值定理）：

设函数f(x)满足条件：

• 在[a,b]上连续；

• 在(a,b)内可导；

则在(a,b)内一存在个\xi ，使 \frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )

Th4（柯西中值定理）：

设函数f(x)，g(x)满足条件：

• 在[a,b]上连续；

• 在(a,b)内可导且{f}'(x)，{g}'(x)均存在，且{g}'(x)\ne 0

则在(a,b)内一存在个\xi ，使 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}

1.10 洛必达法则

法则Ⅰ (\frac{0}{0}型)

设函数f\left( x \right),g\left( x \right)满足条件：

• \underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0

• f\left( x \right),g\left( x \right)在{{x}{0}}的邻域内可导，(在{{x}{0}}处可除外)且{g}'\left( x \right)\ne 0

• \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}存在(或\infty )。

则:

法则Ⅰ{{}'}（\frac{0}{0}型）

设函数f\left( x \right),g\left( x \right)满足条件：

• \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0

• 存在一个X>0，当\left| x \right|>X时，f\left( x \right),g\left( x \right)可导，且{g}'\left( x \right)\ne 0；\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}存在(或\infty )

则:

法则Ⅱ（\frac{\infty }{\infty }型）

设函数f\left( x \right),g\left( x \right)满足条件：

• \underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty

• f\left( x \right),g\left( x \right)在{{x}{0}} 的邻域内可导(在{{x}{0}}处可除外)且{g}'\left( x \right)\ne 0;\underset{x\to {{x}{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}存在(或\infty )

则：

同理法则Ⅱ{{}'}(\frac{\infty }{\infty }型)仿法则Ⅰ{{}'}可写出。

1.11 泰勒公式

设函数f(x)在点{{x}{0}}处的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于{{x}{0}}的任意点x，在{{x}{0}}与x之间至少存在 一个\xi ，使得：

其中 {{R}{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}{0}})}^{n+1}}称为f(x)在点{{x}{0}}处的n阶泰勒余项。

令{{x}{0}}=0，则n阶泰勒公式：

其中 {{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}，\xi 在0与x之间。上式称为麦克劳林公式。

常用五种函数在{{x}_{0}}=0处的泰勒公式

• {{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}
  
  或 =1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})

• \sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )
  
  或 =x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})

• \cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )
  
  或 =1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})

• \ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}
  
  或 =x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})

• {{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}
  
  或 {{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})

1.12 函数单调性的判断

Th1：设函数f(x)在(a,b)区间内可导，如果对\forall x\in (a,b)，都有f\,'(x)>0（或f\,'(x)<0），则函数f(x)在(a,b)内是单调增加的（或单调减少）

Th2： （取极值的必要条件）设函数f(x)在{{x}_{0}}处可导，且在{{x}_{0}}处取极值，则f\,'({{x}_{0}})=0

Th3： （取极值的第一充分条件）设函数f(x)在{{x}_{0}}的某一邻域内可微，且f\,'({{x}_{0}})=0（或f(x)在{{x}{0}}处连续，但f\,'({{x}_{0}})不存在），则

• 若当x经过{{x}{0}}时，f\,'(x)由“+”变“-”，则f({{x}{0}})为极大值；

• 若当x经过{{x}{0}}时，f\,'(x)由“-”变“+”，则f({{x}{0}})为极小值；

• 若f\,'(x)经过x={{x}{0}}的两侧不变号，则f({{x}{0}})不是极值。

Th4： （取极值的第二充分条件）设f(x)在点{{x}{0}}处有f''(x)\ne 0，且f\,'({{x}{0}})=0，则

• 当f'\,'({{x}{0}})<0时，f({{x}{0}})为极大值；

• 当f'\,'({{x}{0}})>0时，f({{x}{0}})为极小值。

注：如果f'\,'({{x}_{0}})<0，此方法失效。

1.13 渐近线的求法

水平渐近线

若\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b，或\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b，则：

y=b称为函数y=f(x)的水平渐近线。

铅直渐近线

若\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty ，或\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty ，则：

x={{x}_{0}}称为y=f(x)的铅直渐近线。

斜渐近线

若a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]，则：

y=ax+b称为y=f(x)的斜渐近线。

1.14 函数凹凸性的判断

凹凸性的判别定理

若在I上f''(x)<0（或f''(x)>0），则f(x)在I上是凸的（或凹的）。

拐点的判别定理Ⅰ

若在{{x}{0}}处f''(x)=0，（或f''(x)不存在），当x变动经过{{x}{0}}时，f''(x)变号，则({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))为拐点。

拐点的判别定理Ⅱ

设f(x)在{{x}_{0}}点的某邻域内有三阶导数，且f''(x)=0，f'''(x)\ne 0，则({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))为拐点。

1.15 弧微分

1.16 曲率

曲线y=f(x)在点(x,y)处的曲率k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}

对于参数方程：

1.17 曲率半径

曲线在点M处的曲率k(k\ne 0)与曲线在点M处的曲率半径\rho 有如下关系：\rho =\frac{1}{k}。

2 线性代数

2.1 行列式

行列式按行（列）展开定理

• 设A = ( a_{{ij}} ){n \times n}，则：

或：

即： AA^{} = A^{}A = \left| A \right|E，，其中：

• 设A,B为n阶方阵，则\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|，但\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|不一定成立

• \left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|，A为n阶方阵

• 设A为n阶方阵，|A^{T}| = |A|；|A^{- 1}| = |A|^{- 1}（若A可逆），|A^{*}| = |A|^{n - 1} n \geq 2

• \left| \begin{matrix} {A} & {O} \\ {O} & {B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} {A} & {C} \\ {O} & {B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} {A} & {O} \\ {C} & {B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|，A,B为方阵，
  
  \left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|

• 范德蒙行列式：

设A是n阶方阵，\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)是A的n个特征值，则：

2.2 矩阵及其线性运算

矩阵：m \times n个数a_{{ij}}排成m行n列的表格\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{{mn}} \\ \end{bmatrix} 称为矩阵，简记为A，或者\left( a_{{ij}} \right)_{m \times n} 。若m = n，则称A是n阶矩阵或n阶方阵。

• 矩阵的加法

设A = (a_{{ij}}),B = (b_{{ij}})是两个m \times n矩阵，则m \times n 矩阵C = (c_{{ij}}) = a_{{ij}} + b_{{ij}}称为矩阵A与B的和，记为A + B = C

• 矩阵的数乘

设A = (a_{{ij}})是m \times n矩阵，k是一个常数，则m \times n矩阵(ka_{{ij}})称为数k与矩阵A的数乘，记为{kA}

• 矩阵的乘法

设A = (a_{{ij}})是m \times n矩阵，B = (b_{{ij}})是n \times s矩阵，那么m \times s矩阵C = (c_{{ij}})，其中c_{{ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{{in}}b_{{nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{{ik}}b_{{kj}}}称为{AB}的乘积，记为C = AB

• \mathbf{A}^{\mathbf{T}}、\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}、\mathbf{A}^{\mathbf{*}}三者之间的关系

(1) {(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}

(2) \left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},

但 {(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}不一定成立

(3) \left( A^{} \right)^{} = |A|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)，\left({AB} \right)^{} = B^{}A^{}, \left( {kA} \right)^{} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)

但\left( A \pm B \right)^{} = A^{} \pm B^{*}不一定成立

(4) {(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{} ={(AA^{})}^{- 1},{(A^{})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{}

• 有关\mathbf{A}^{\mathbf{*}}的结论

(1) AA^{*} = A^{*}A = |A|E

(2) |A^{*}| = |A|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{{\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = |A|^{n - 2}A(n \geq 3)

(3) 若A可逆，则A^{<em>} = |A|A^{- 1},{(A^{</em>})}^{*} = \frac{1}{|A|}A

(4) 若A为n阶方阵，则：

• 有关\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}的结论

A可逆\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow |A| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;

\Leftrightarrow A可以表示为初等矩阵的乘积；\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0。

• 有关矩阵秩的结论

(1) 秩r(A)=行秩=列秩；

(2) r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);

(3) A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1；

(4) r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),特别若AB = O则：r(A) + r(B) \leq n

(7) 若A^{- 1}存在\Rightarrow r(AB) = r(B); 若B^{- 1}存在\Rightarrow r(AB) = r(A);

若r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B); 若r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)。

(8) r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0只有零解

• 分块求逆公式

这里A，B均为可逆方阵。

2.3 向量

1. 有关向量组的线性表示

(1)\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性相关\Leftrightarrow至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性无关，\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}，\beta线性相关\Leftrightarrow \beta可以由\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}唯一线性表示。

(3) \beta可以由\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性表示
\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta) 。

2. 有关向量组的线性相关性

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2)

① n个n维向量
\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}线性无关\Leftrightarrow \left|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right| \neq0， n个n维向量\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}线性相关
\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0

② n + 1个n维向量线性相关

③ 若\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关

3. 有关向量组的线性表示

(1) \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性相关\Leftrightarrow至少有一个向量可以用其余向量线性表示

(2) \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性无关，\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}，\beta线性相关\Leftrightarrow\beta 可以由\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}唯一线性表示。

(3) \beta可以由\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性表示
\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)

4. 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设r(A_{m \times n}) =r，则A的秩r(A)与A的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若r(A_{m \times n}) = r = m，则A的行向量组线性无关。

(2) 若r(A_{m \times n}) = r < m，则A的行向量组线性相关。

(3) 若r(A_{m \times n}) = r = n，则A的列向量组线性无关。

(4) 若r(A_{m \times n}) = r < n，则A的列向量组线性相关。

5. \mathbf{n}维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

若\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}与\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}是向量空间V的两组基，则基变换公式为：

其中C是可逆矩阵，称为由基\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}到基\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}的过渡矩阵。

6. 坐标变换公式

若向量\gamma在基\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}与基\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}的坐标分别是
X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}，

Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T} 即： \gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}，则向量坐标变换公式为X = CY 或Y = C^{- 1}X，其中C是从基\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}到基\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}的过渡矩阵。

7. 向量的内积

8. Schmidt正交化

若\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}线性无关，则可构造\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}使其两两正交，且\beta_{i}仅是\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}的线性组合(i= 1,2,\cdots,n)，再把\beta_{i}单位化，记\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left| \beta_{i}\right|}，则\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}是规范正交向量组。其中：

9. 正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

2.4 线性方程组

1. 克莱姆法则

关于线性方程组：

如果系数行列式D = \left| A \right| \neq 0，则方程组有唯一解，x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}，其中D_{j}是把D中第j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. 矩阵可逆及其解的关系

n阶矩阵A可逆\Leftrightarrow Ax = 0只有零解\Leftrightarrow\forall b,Ax = b总有唯一解，一般地，r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0只有零解。

3. 非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设A为m \times n矩阵，若r(A_{m \times n}) = m，则对Ax =b而言必有r(A) = r(A \vdots b) = m，从而Ax = b有解；

(2) 设x_{1},x_{2},\cdots x_{s}为Ax = b的解，则k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}当k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1时仍为Ax =b的解；但当k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0时，则为Ax =0的解。特别\frac{x_{1} + x_{2}}{2}为Ax = b的解；2x_{3} - (x_{1} +x_{2})为Ax = 0的解；

(3) 非齐次线性方程组{Ax} = b无解\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b不能由A的列向量\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}线性表示。

4. 奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组{Ax} = 0恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此{Ax}= 0的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是n - r(A)，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系；

(2) \eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}是{Ax} = 0的基础解系，即：

i) \eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}是{Ax} = 0的解；

ii) \eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}线性无关；

iii) {Ax} = 0的任一解都可以由\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}线性表出。k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}是{Ax} = 0的通解，其中k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}是任意常数。

2.5 矩阵的特征值和特征向量

1. 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设\lambda是A的一个特征值，则 {kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}有一个特征值分别为
{kλ},{aλ}+b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{|A|}{\lambda},且对应特征向量相同（A^{T} 例外）；

(2)若\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}为A的n个特征值，则\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{{ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= |A| ,从而|A| \neq 0 \Leftrightarrow A没有特征值；

(3)设\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}为A的s个特征值，对应特征向量为\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}，

若: \alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s} ,

则: A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s} 。

2. 相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若A \sim B，则

1) A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}

2) |A| = |B|,\sum_{i = 1}^{n}A_{{ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{{ii}},r(A) = r(B)

3) |\lambda E - A| = |\lambda E - B|，对\forall\lambda成立

3. 矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1)设A为n阶方阵，则A可对角化\Leftrightarrow对每个k_{i}重根特征值\lambda_{i}，有n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}

(2) 设A可对角化，则由P^{- 1}{AP} = \Lambda,有A = {PΛ}P^{-1}，从而A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}

(3) 重要结论：

1) 若A \sim B,C \sim D，则\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}

2) 若A \sim B，则f(A) \sim f(B),\left| f(A) \right| \sim \left| f(B)\right|，其中f(A)为关于n阶方阵A的多项式

3) 若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩(A)

4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1)相似矩阵：设A,B为两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B =P^{- 1}{AP}成立，则称矩阵A与B相似，记为A \sim B

(2)相似矩阵的性质：如果A \sim B则有：

1) A^{T} \sim B^{T}

2) A^{- 1} \sim B^{- 1} （若A，B均可逆）

3) A^{k} \sim B^{k} （k为正整数）

4) \left| {λE} - A \right| = \left| {λE} - B \right|，从而A,B有相同的特征值

5) \left| A \right| = \left| B \right|，从而A,B同时可逆或者不可逆

6) 秩\left( A \right) =秩\left( B \right),\left| {λE} - A \right| =\left| {λE} - B \right|，A,B不一定相似

2.6 二次型

1. \mathbf{n}个变量\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}的二次齐次函数

f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{{ij}}x_{i}y_{j}}}，其中a_{{ij}} = a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)，称为n元二次型，简称二次型. 若令：

这二次型f可改写成矩阵向量形式f =x^{T}{Ax}。其中A称为二次型矩阵，因为a_{{ij}} =a_{{ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵A的秩称为二次型的秩。

2. 惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任意二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}经过合同变换x = {Cy}化为：

y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}称为 f(r \leq n)的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由r(A)唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型f都可经过合同变换化为规范形：

其中r为A的秩，p为正惯性指数，r -p为负惯性指数，且规范型唯一。

3. 用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

设A正定\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}正定；|A| >0,A可逆；a_{{ii}} > 0，且|A_{{ii}}| > 0

A，B正定\Rightarrow A +B正定，但{AB}，{BA}不一定正定

A正定\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0

\Leftrightarrow A的各阶顺序主子式全大于零

\Leftrightarrow A的所有特征值大于零

\Leftrightarrow A的正惯性指数为n

\Leftrightarrow存在可逆阵P使A = P^{T}P

\Leftrightarrow存在正交矩阵Q，使：

其中\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.正定\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}正定； |A| > 0,A可逆；a_{{ii}} >0，且|A_{{ii}}| > 0 。

3 概率论和数理统计

3.1 随机事件和概率

1. 事件的关系与运算

(1) 子事件：A \subset B，若A发生，则B发生。

(2) 相等事件：A = B，即A \subset B，且B \subset A 。

(3) 和事件：A\bigcup B（或A + B），A与B中至少有一个发生。

(4) 差事件：A - B，A发生但B不发生。

(5) 积事件：A\bigcap B（或{AB}），A与B同时发生。

(6) 互斥事件（互不相容）：A\bigcap B=\varnothing。

(7) 互逆事件（对立事件）：A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}

2. 运算律

(1) 交换律：A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A

(2) 结合律：(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)

(3) 分配律：(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)

3. 德·摩根律

4. 完全事件组

{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}两两互斥，且和事件为必然事件，即：

5. 概率的基本公式

(1) 条件概率:

表示A发生的条件下，B发生的概率。

(2) 全概率公式：

(3) Bayes公式：

注：上述公式中事件{{B}_{i}}的个数可为可列个。

(4) 乘法公式：

6. 事件的独立性

(1) A与B相互独立\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)

(2)A，B，C两两独立\Leftrightarrow

(3) A，B，C相互独立\Leftrightarrow

7. 独立重复试验

将某试验独立重复n次，若每次实验中事件A发生的概率为p，则n次试验中A发生k次的概率为：

8.重要公式与结论

(1) P(\bar{A})=1-P(A)

(2) P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(3) P(A-B)=P(A)-P(AB)

(4) P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),

(5)条件概率P(\centerdot |B)满足概率的所有性质，例如：

(6) 若{{A}{1}},{{A}{2}},\cdots ,{{A}{n}}相互独立，则：

(7) 互斥、互逆与独立性之间的关系：

A与B互逆\Rightarrow A与B互斥，但反之不成立；

A与B互斥（或互逆）且均非零概率事件\Rightarrow A与B不独立。

(8)若{{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}相互独立，则f({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}})与g({{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}})也相互独立，其中f(·),g(·)分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立。

3.2 随机变量及其概率分布

1. 随机变量及概率分布

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2. 分布函数的概念与性质

定义： F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty

性质：(1)0 \leq F(x) \leq 1

(2) F(x)单调不减

(3) 右连续F(x + 0) = F(x)

(4) F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1

3. 离散型随机变量的概率分布

4. 连续型随机变量的概率密度

概率密度f(x);非负可积，且:

(1)f(x) \geq 0,

(2)\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}

(3)x为f(x)的连续点，则:

f(x) = F'(x)分布函数F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}

5. 常见分布

(1) 0-1分布:P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1

(2) 二项分布:B(n,p)： P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n

(3) Poisson分布:p(\lambda)： P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots

(4) 均匀分布U(a,b)：

(5) 正态分布:N(\mu,\sigma^{2}): \varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{{(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty

(6)指数分布:

(7)几何分布:G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.

(8)超几何分布: H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)

6. 随机变量函数的概率分布

(1)离散型：P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)

则: P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}

(2)连续型：X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)

则:F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}， f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)

7. 重要公式与结论

(1) X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2}, \Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)

(2) X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})

(3) X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t)

(4) X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k)

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

3.3 多维随机变量及其分布

1. 二维随机变量及其联合分布

由两个随机变量构成的随机向量(X,Y)， 联合分布为F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)

2. 二维离散型随机变量的分布

(1) 联合概率分布律 P{ X = x_{i},Y = y_{j}} = p_{{ij}};i,j =1,2,\cdots

(2) 边缘分布律 p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{{ij}},i =1,2,\cdots p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{{ij}},j = 1,2,\cdots

(3) 条件分布律 P{ X = x_{i}|Y = y_{j}} = \frac{p_{{ij}}}{p_{\cdot j}}; P{ Y = y_{j}|X = x_{i}} = \frac{p_{{ij}}}{p_{i \cdot}}

3. 二维连续性随机变量的密度

(1) 联合概率密度f(x,y):

1) f(x,y) \geq 0

2) \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1

(2) 分布函数：F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}

(3) 边缘概率密度： f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}} f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}

(4) 条件概率密度：f_{X|Y}\left( x \middle| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)} f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}

4. 常见二维随机变量的联合分布

(1) 二维均匀分布：

(2) 二维正态分布：

5. 随机变量的独立性和相关性

X和Y的相互独立:\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right):

\Leftrightarrow p_{{ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}（离散型）

\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)（连续型）

X和Y的相关性：

相关系数\rho_{{XY}} = 0时，称X和Y不相关，

否则称X和Y相关

6. 两个随机变量简单函数的概率分布

离散型： P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{{ij}},Z = g\left( X,Y \right) 则：

连续型：

7. 重要公式与结论

(1) 边缘密度公式：

(2) P\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}

(3) 若(X,Y)服从二维正态分布N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)
则有：

1) X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})

2) X与Y相互独立\Leftrightarrow \rho = 0，即X与Y不相关

3) C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)

4) {\ X}关于Y=y的条件分布为： N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))

5) Y关于X = x的条件分布为： N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))

(4) 若X与Y独立，且分别服从N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),

则：\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),

(5) 若X与Y相互独立，f\left( x \right)和g\left( x \right)为连续函数， 则f\left( X \right)和g(Y)也相互独立。

3.4 随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型：P\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}；

连续型： X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}

性质：

(1) E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)

(2) E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)

(3) 若X和Y独立，则E(XY) = E(X)E(Y)

(4)\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})

2.方差：D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}

3.标准差：\sqrt{D(X)}，

4.离散型：D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}

5.连续型：D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx

性质：

(1)\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0

(2) X与Y相互独立，则D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)

(3)\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)

(4) 一般有

(5)\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)

(6)\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1

6.随机变量函数的数学期望

(1) 对于函数Y = g(x)

X为离散型：P{ X = x_{i}} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}；

X为连续型：X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}

(2) Z = g(X,Y);

7.协方差

8.相关系数

\rho_{{XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}},k阶原点矩 E(X^{k});

k阶中心矩 E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}

性质：

(1)\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)

(2)\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)

(3)\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)

(4)\ \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1

(5) \ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1 ，其中a > 0

\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1，其中a < 0

9.重要公式与结论

(1)\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)

(2)\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

(3) \left| \rho\left( X,Y \right) \right| \leq 1,且 \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1，其中a > 0

\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1，其中a < 0

(4) 下面5个条件互为充要条件：

\rho(X,Y) = 0 \Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0 \Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)

\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y) \Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)

注：X与Y独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

3.5 数理统计的基本概念

1.基本概念

总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用X表示。

个体：组成总体的每个基本元素。

简单随机样本：来自总体X的n个相互独立且与总体同分布的随机变量X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}，称为容量为n的简单随机样本，简称样本。

统计量：设X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},是来自总体X的一个样本，g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})）是样本的连续函数，且g()中不含任何未知参数，则称g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})为统计量。

样本均值：\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}

样本方差：S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}

样本矩：样本k阶原点矩：A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots

样本k阶中心矩：B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots

2.分布

\chi^{2}分布：\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)，其中X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},相互独立，且同服从N(0,1)

t分布：T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) ，其中X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),且X，Y 相互独立。

F分布：F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})，其中X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),且X，Y相互独立。

分位数：若P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,则称x_{\alpha}为X的\alpha分位数

3.正态总体的常用样本分布

(1) 设X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}为来自正态总体N(\mu,\sigma^{2})的样本，

\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},}则：

1) \overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ }或者\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)

2) \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}

3) \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}

4){\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)

4.重要公式与结论

(1) 对于\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)，有E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;

(2) 对于T\sim t(n)，有E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)；

(3) 对于F\tilde{\ }F(m,n)，有 \frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};

(4) 对于任意总体X，有 E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}